Question

【题目】如图1，已知中，，，点在边的延长线上，且．

（1）求的度数；

（2）如图2，将绕点逆时针旋转（）得到．

①若，与相交于点，求的长度；

②连接，，若旋转过程中时，求满足条件的的度数．

（3）如图3，将绕点逆时针旋转（）得到，若点为的中点，点为线段上任意一点，直接写出旋转过程中，线段长度的取值范围为______．

Answer 1

【答案】（1）∠ADC=30°；（2）①DE=；②45°或225°；（3）．

【解析】

（1）过点C作CH⊥AB于H，由等腰直角三角形的性质和已知条件可得CH＝AB＝CD，再由锐角三角函数可求解；

（2）①由旋转的性质和（1）题的结果可得的长，∠＝∠，由等腰三角形的性质和30°角的余弦可得CF与CE，进一步即可求出结果；

②分两种情况分别画出图形，如图3、图4，由旋转的性质可由“SSS”证明△≌△，可得∠＝∠，进而可得α的方程，解方程即得结果；

（3）如图5，当⊥AC时，N是AC与的交点时，MN的长度最小，如图6，当点A，C，共线，且点N与点重合时，MN有最大值，进而可求结果．

解：（1）如图1，过点C作CH⊥AB于H，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，

∴AB＝6，CH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵AB＝CD，

∴CH＝CD，

∴sin∠ADC＝，

∴∠ADC＝30°；

（2）①如图2，过点E作EF⊥于F，

∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△，

∴CD＝＝6，∠＝30°＝∠CDA＝∠，

∴CE＝，

又∵EF⊥，

∴CF＝＝3，

∴CE＝，

∴DE＝DC﹣CE＝；

②如图3，

∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，

∴∠BCD＝15°，

∴∠ACD＝105°，

∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△，

∴AC＝，CD＝，∠＝∠＝α，

∴CB＝，

又∵，

∴△≌△（SSS），

∴∠＝∠，

∴105°﹣α＝15°+α，

∴α＝45°；

如图4，

同上面的方法可证：△≌△，

∴∠＝∠，

∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，

∴α＝225°；

综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；

（3）如图5，当⊥AC，N是AC与的交点时，MN的长度最小，

∵∠＝45°，⊥AC，

∴∠＝∠＝45°，

∴CN＝N＝3，

∵点M为AC的中点，

∴CM＝AC＝3，

∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；

如图6，当点A，C，共线，且点N与点重合时，MN有最大值，

此时MN＝CM+CN＝6+3，

∴线段MN的取值范围是；

故答案为：．