Question

【题目】在等腰直角三角形中，，．点为射线上一个动点，连接，点在直线上，且．过点作于点，点，在直线的同侧，且，连接．请用等式表示线段，，之间的数量关系．小明根据学习函数的经验．对线段，，的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）对于点在射线上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表：

	位置 1	位置 2	位置 3	位置 4	位置 5	位置 6	位置 7	位置 8
	2.83	2.83	2.83	2.83	2.83	2.83	2.83	2.83
	2.10	1.32	0.53	0.00	1.32	2.10	4.37	5.6
	0.52	1.07	1.63	2.00	2.92	3.48	5.09	5.97

在，，的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度是这个自变量的函数， 的长度是常量．

（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：请用等式表示线段，，之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）按照变量的定义，根据题意点P为动点，BE的长随着点P的移动而改变，BC为已知等腰直角三角形的斜边；

（2）描点画出图象即可；

（3）根据图形可求出长度根据长度变化的函数关系式为一次函数，发现斜率绝对值接近，再通过画图可证明三条线段关系．

（1）根据题意，画出图形，再结合表格数据可知，的长度是自变量，的长度是这个自变量的函数，的长度是常量．

故答案为：，，．

（2）根据表格数据描点画出以下图像

（3）首先通过函数图像图像，可判断BE关于BP的函数图像氛围两部分，斜率接近，则可知线段，，之间的数量关系．

再通过画图证明：

当点P在线段BA的延长线上时，如图，过点P作PF垂直于AC交BC的延长线于F，

∵为等腰直角三角形，，，

∴，

又∵，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴（），

∴，

在等腰直角三角形中，

∴，

即，；

当点P在线段AB上时，过点P作于点，

同理可证（），

∴，

∴，

又∵为等腰直角三角形，

∴，

∴

综上：线段，，之间的数量关系为：．