Question

【题目】(1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70，则∠BPC=_______度；

(2)探究2:如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系?并说明理由。

(3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.,直接写出∠BPC与α的数量关系；

Answer 1

【答案】（1）125°；（2）∠BPC=90°﹣∠A，理由见解析；（3）∠BPC =180°﹣

【解析】

（1）借助角平分线的性质即可得到∠PBC=∠ABC以及∠PCB=∠ACB，然后在△BPC中进一步分析可找出∠BPC与∠A的关系，进而求出∠BPC的度数；

（2）根据三角形内角和定理可知∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB），根据角平分线的定义可用（∠DBC+∠ECB）表示∠PBC+∠PCB，再利用三角形外角性质得到∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，即可求出∠BPC与∠A的关系；

（3）延长BA、CD相交于点Q，由（2）的分析可直接得出∠P与∠Q的关系，而∠BAD与∠CDA是△ADQ的外角，再结合三角形外角性质即可解答.

（1）解：∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）

=180°﹣（∠ABC+∠ACB）

=180°﹣（180°﹣∠A）

=90°+∠A

=90°+35°

=125°

故答案为：125°

（2）∠BPC=90°﹣∠A

理由如下：

∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）

=180°﹣（∠DBC+∠ECB）

=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）

=180°﹣（∠A+180°）

=90°﹣∠A

（3）延长BA、CD相交于点Q，如图

∠BPC=90°﹣∠Q

∴∠Q=180°﹣2∠BPC

∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°﹣2∠BPC =360°﹣2∠BPC

∴∠BPC =180°﹣

故答案为：∠BPC =180°﹣