Question

解下列各方程组
（1）

4x+3y-1=0 12xy+13y2-1=0

 

．
（2）

x+y=3 xy=2

 

．
（3）

x-y=5 xy=6

 

．
（4）

x+y=4 x2+y2=40

 

．

Answer 1

分析：（1）把方程①化为4x=1-3y代入方程②得到关于y的一元二次方程，求出y的值，再把y的值代入方程①求出x的值．
（2）根据根与系数的关系，x，y是方程z²-3z+2=0的两个根，用因式分解求出z的两个值，可以得到方程组的解．
（3）把方程①化为x=y+5代入②求出y的值，然后把y的值代入x=y+5中求出x的值，得到方程组的解．
（4）利用完全平方公式把方程②转化，将原方程组化为两数和与两数积的形式，用根与系数的关系求出方程组的解．

解答：解：（1）

4x+3y-1=0 ① 12xy+13y2-1=0  ②

把①化为：4x=1-3y ③
把③代入②得：3y（1-3y）+13y²-1=0
整理得：4y²+3y-1=0
即：（4y-1）（y+1）=0
∴y₁=-1，y₂=

1

4

．
把y₁=-1代入③得：x₁=1．
把y₂=

1

4

代入③得：x₂=

1

16

．
∴原方程组的解为：

x1=1 y1=-1

x2= 1 16 y2= 1 4

（2）

x+y=3 ① xy=2  ②

根据根与系数的关系，x，y是方程z²-3z+2=0的两个根，
又方程可分解为：（z-1）（z-2）=0
∴z₁=1，z₂=2．
∴原方程组的解为：

x1=1 y1=2

，

x2=2 y2=1

．
（3）

x-y=5 ① xy=6  ②

把方程①化为：x=y+5 ③
把③代入②得：y（y+5）=6
整理得：y²+5y-6=0
（y+6）（y-1）=0
∴y₁=1，y₂=-6．
把y₁=1代入③得：x₁=6．
把y₂=-6代入③得：x₂=-1．
∴原方程组的解为：

x1=6 y1=1

x2=-1 y2=-6

（4）

x+y=4 ① x2+y2=40 ②

方程②可化为：（x+y）²-2xy=40 ③
把①代入③整理得：xy=-12．
所以原方程组化为：

x+y=4 xy=-12

根据根与系数的关系，x，y是方程z²-4z-12=0的两个根，
（z-6）（z+2）=0
∴z₁=6，z₂=-2．
∴原方程组的解为：

x1=6 y1=-2

x2=-2 y2=6

点评：本题考查的是二元二次方程组，（1）用代入消元法，消去x得到关于y的一元二次方程，先求出y的值，再把求出的y值代入原方程求出x的值．（2）利用根与系数的关系解方程组．（3）利用代入消元法解方程组，（5）用完全平方公式把方程化简，然后利用根与系数的关系求出方程的解．