Question

如图①在正方形网格中有四边形ABCD．

（1）利用网格作∠A、∠B的平分线；
（2）∠A、∠B的平分线交于点O，判断点O是否在其他两个角的平分线上；
（3）从图中得出的结论：①AD∥BC；②∠AOB=∠DOC=90°；③AD+BC=AB+CD；④S_△AOB=S_△COD；⑤∠AOD与∠BOC互补；其中正确的结论为______（写序号）
（4）如图②，在四边形ABCD中四个内角平分线仍相交于一点O，在（3）的正确结论中，哪些仍然成立？试说明理由．

Answer 1

解：（1）如图：AO，BO为∠A、∠B的平分线，

（2）如（1）中图，
∵在△EOC和△FOC中，
，
∴△EOC≌△FOC（SSS），
∴∠ECO=∠FCO，
∴O点在∠BCD的角平分线上，
同理：O点也在∠ADC的角平分线上，

（3）如图：OA⊥BO，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AO，BO为∠A、∠B的平分线，
∴∠BAD+∠CBA=180°，
∴AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵OD，OC分别为∠DCB，∠CDA的角平分线，
∴∠ODC+∠OCD=90°，
∴OD⊥OC，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵O点为四边形四个内角的角平分线的交点，
∴O点为其内心，
∴AD+BC=AB+CD，
∵AB≠CD，
∴S_△AOB≠S_△COD，

（4）∵四边形ABCD中四个内角平分线仍相交于一点O，
∴O点为四边形ABCD的内心，
∴AD+BC=AB+CD，
∴在（3）的正确结论中，③仍然成立．
故答案为①②③⑤．
分析：（1）利用网格线很容易作出∠A、∠B的平分线，
（2）结合图形，通过求证三角形全等，即可推出点O在其他两个角的平分线上，（3）根据（1）（2）中所推出的结论，可知OA⊥BO，结合角平分线的性质，即可推出结论①和②，再根据周角的定义，即可推出结论⑤，然后根据四边形内切圆的定义和性质，即可推出结论③，（4）根据图2，只能推出O点为四边形的内心，既而得出结论③AD+BC=AB+CD．
点评：本题主要考查角平分线的性质、作角平分线，全等三角形的判定与性质、四边形的内切圆的定义与性质等知识点，关键在于结合网络图形分析出相等关系，熟练正确地运用相关的性质定理．