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    在某高科技术开发区中，相距200 m的A、B两地的中点O处有一精密仪器研究所，为保证研究所正常工作，在其周围50 m内不得有机动车辆经过．现在要从A到B修一条公路，有下面两种修路方案：

    (1)分别由A、B向以O为圆心、半径为50 m的半圆引切线，切点分别为M、N，沿线段AM、圆弧MN、线段NB修路(如图)；

    (2)分别由A、B向以O为圆心、径为50 m的半圆引切线，两切线相交于点P，沿线段AP、PB修路(如图)．

    分别计算两种修路方案的公路长，并指出哪种修路方案更节省?

     

    答案：
    解析：

    		(1)连结OM、ON．

    ∵　AM、BN分别切⊙O于点M、N，

    ∴　OM⊥AM，ON⊥BN．

    由题意知，AO=OB=100 m，OM=ON=50 m，

    ∴　∠A=∠B=30°，∠AOM=∠BON=60°．

    ∴　的长为×2p×50=，AM=BN=50．

    ∴　路径AM++BN=50++50=(100+)m．

    (2)连结OP，由(1)知，∠A=∠B=30°，

    ∴　PA=PB．∴　PO⊥AB．∴　PA==．

    ∴　路径PA+PB=m．

    ∵　100+＜，∴　祒谝恢址桨附谑。?/span>

     


    提示：

    		方案(1)是两线段与弧连接的路径，而方案(2)是折线路径．连接的本质是相切，在图中，可连结OM、ON，则OM⊥AM，ON⊥BN．故AM、BN可求，进而长也可求．图的计算方法为：连结PO，则AP=，所以AP+PB=

    =．

    比较它们的大小可知哪种方案节省．

    本题是利用连接和非连接两套方案比较路径长短，也就是连接与非连接的择优．将实际问题抽象为具体的数学模型，通过对数学模型的性质的研究，确定实际问题的解决办法．

     


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