Question

（2002•海淀区）（1）求证：关于x的方程（n-1）x²十mx+1=0①有两个相等的实数根．
关于y的方程m²y²-2my-m²-2n²+3=0②必有两个不相等的实数根；
（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m²n十12n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①有两个相等的实数根，即方程的判别式△=0，即可得到关于m，n的一个等式，求证②必有两个不相等的实数根，即证明根的判别式△＞0．
（2）把（1）中根据①有两个相等的实数根，即方程的判别式△=0，得到的关于m，n的一个等式，变形为用含m的代数式表示n的形式，消去方程①中的m，然后解方程①，求出方程的根，根据若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，即可求解．
解答：（1）证明：由方程①得n-1≠0，m²-4×（n-1）=0．
∴m²=4（n-1）且m≠0，则n-1＞0．
方程②中△=4m²-4m²（-m²-2n²+3）=4m²（1+m²+2n²-3）=8m²（n+3）（n-1）．
∵n-1＞0．
∴△＞0．方程②必有两个不相等的实数根．

（2）解：由m²=4（n-1），得n-1=．代入第一个方程，得
x²+mx+1=0，解得x=-．
把代入第二个方程，得
m²×（）²-2m×-m²-2n²+3=0．
整理得2n²+4n=7．
∴m²n十12n=n（m²+12）
=n（4n-4+12）
=4n²+8n
=2（2n²+4n）
=14．
点评：△＞0时，一元二次方程才有2个不相等的实数根．注意运用根与系数的关系使计算简便．