【题目】已知在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M．问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（
，3）；（2）
；（3）存在，（
，
）．
【解析】
（1）过C作CH⊥OA于H，根据折叠得到OC=OA=4，∠A0C=60°，求出OH和CH即可．
（2）把C（，3）、A（
，0）代入
得到方程组，求出方程组的解即可．
（3）如图，根据等腰梯形的判定，只要CE＝QD即可，据此列式求解．
解：（1）过C作CH⊥OA于H，
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=．
∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=，∠AOC=60°．
∴OH=，CH="3" ．
∴C的坐标是（，3）．
（2）∵抛物线
经过C（，3）、A（，0）两点，
∴
，解得
．
∴此抛物线的解析式为
（3）存在．
∵的顶点坐标为（，3），即为点C．
MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，
∵∠BOA＝300，所以ON＝
∴P（
）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E．
把
代入得：
．
∴ M（，
），E（，）．
同理：Q（，t），D（，1）．
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD，
即
，解得：
，
（舍去）．
∴ P点坐标为（，）．
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）．
超能学典应用题题卡系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】小帆同学根据函数的学习经验，对函数
进行探究，已知函数过
，
，
．
（1）求函数
解析式；
（2）如图1，在平面直角坐标系中画的图象，根据函数图象，写出函数的一条性质 ；
（3）结合函数图象回答下列问题：
①方程
的近似解的取值范围(精确到个位)是 ；
②若一次函数
与有且仅有两个交点，则
的取值范围是 ．
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【题目】在平面直角坐标系
中，直线
与轴，
轴分别交于点
，
．抛物线
经过点，将点向右平移
个单位长度，得到点
．
（1）求点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）若抛物线与线段
恰有一个公共点，结合函数图象，求
的取值范围．
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【题目】如图，平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交DA，BC的延长线于E，F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AE＝BC，试探究线段OC与线段DF之间的关系，并说明理由．
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【题目】某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．
小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况
接通电源后的时间x（单位：min） | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | 10 | 16 | 18 | 20 | 21 | 24 | 32 | … |
水箱中水的温度y（单位：℃） | 20 | 35 | 50 | 65 | 80 | 64 | 40 | 32 | 20 | m | 80 | 64 | 40 | 20 | … |
m的值为 ；
（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象：
（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 min．
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【题目】如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝DE，BC＝3BF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，则cos∠EGF的值为_____．
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【题目】如图所示，在
中，以
为圆心，
长为半径画弧交
于点
，再分别以点
、为圆心，大于
为半径画弧，两弧交于一点
，连结
交
于点
，连结
．若
，
，则四边形
的面积为____．
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【题目】某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点.从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从B地运往C处的蔬菜为x吨.
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；
C | D | 总计/t | |
A | 200 | ||
B | x | 300 | |
总计/t | 240 | 260 | 500 |
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求
总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案.
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