Question

已知四边形ABCD中，AD+DB+BC=16，则四边形ABCD的面积的最大值为________．

Answer 1

32
分析：先画图，由于S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，那么当∠ADB=∠BCD=90°时，S_△ABD、S_△BCD有最大值，也就是四边形ABCD有最大值，再结合AD+DB+BC=16，可求S_{四边形ABCD}=8BD-BD²，再利用二次函数的求最值问题，即可求四边形ABCD的面积．
解答：解：如右图所示，连接BD，
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，
S_△ABD=AD•BDsin∠ADB，
S_△BCD=BD•BCsin∠BCD，
∴当∠ADB=∠BCD=90°时，S_△ABD、S_△BCD有最大值，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=AD•BD+BD•BC，
又∵AD+BC=16-BD，
∴S_{四边形ABCD}=BD（16-BD）=8BD-BD²，
∵a=-＜0，
∴当BD=-=8时，四边形ABCD的面积有最大值==32．
故四边形ABCD的最大面积是32．
点评：本题考查了四边形面积的计算、二次函数的性质．已知两边和夹角，可利用夹角的正弦来求面积．要使三角形面积最大，则夹角应等于90°．