Question

如图，ABCD是面积为a²的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接A₁B₁C₁D₁各边中点得到四边形A₂B₂C₂D₂，重复同样的方法直到得到四边形A_nB_nC_nD_n，则四边形A_nB_nC_nD_n的面积为

 

．

Answer 1

分析：连接对角线，运用三角形中位线定理探索规律求解．

解答：解：连接AC，BD．
∵四边形A₁B₁C₁D₁是顺次连接各中点得到的，
∴

BA1

BA

=

BB1

BC

=

A1B1

AC

=

1

2

，
故△BB₁A_I∽△BCA，相似比为

1

2

，面积比为

1

4

，即S_△BB1AI=

1

4

S_△BCA，
同理可得S_△DD1C1=

1

4

S_△DAC，即S_△BB1AI+S_△DD1C1=

1

4

（S_△DAC+S_△BCA）=

1

4

S_{四边形ABCD}，
同理可得S_△CC1B1+S_△AA1D1=

1

4

S_{四边形ABCD}，故
S_△BB1AI+S_△DD1C1+S_△CC1B1+S_△AA1D1=

1

2

S_{四边形ABCD}，
则S_{四边形A1B1C1D1}=

1

2

S_{四边形ABCD}=

a2

2

，
同理可得第二个小四边形的面积为

1

2

×

a2

2

即

a2

22

．
第三个面积为

a2

23

，以此类推第n个四边形的面积为

a2

2n

．

点评：此题属规律性题目，解答此题的关键是求出四边形A₁B₁C₁D₁的面积，再依此类推求出第二，第三个四边形的面积，找出规律，即可求得第n个四边形的面积．