Question

【题目】如图1，在中，分别为上一点，且，，.

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若，将绕顺时针旋转至如图2所示位置（不动），连，取中点，连,为射线上一点，连，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由可得，由可得，可证

（2）延长至，使，连，在上截取，连，可证：可得，可证：可得，故即可证

（3）延长至使，连，，延长，交于，交于

可证：，故，，，由（2）知，由于故可得故，故.故可证，可得，可证为正三角形，故，由于故即可求出的最小值.

（1）证明：

又

（2）证明：延长至，使，连，在上截取，连.

∵BD=CD,∠BDF=∠CDS

∴

∵∠TCD =∠EBC

∴∠TCD=∠DCS

∵TC=SC,CD=CD

∴

.

∴

（3）解：延长至使，

连，，延长，交于，交于

∵M是AC的中点

∴AM=MC

∵∠CME=∠SMA,EM=MS

∴，

，，，

由（2）知

.

在和中

为正三角形，

的最小值为