Question

已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是________．

Answer 1

a或a
分析：分两种情况：①△ABC的内角∠ABD=45°；②△ABC的外角∠ABD=45°．这两种情况，都可以首先作△ABC的高AD，解直角△ACD与直角△ABD，得到BC的长，再利用余弦定理求解．
解答：解：分两种情况：
①如图1．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=BD+CD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC
=a²+a²-2×a×a×
=a²，
∴BE=a；
②如图2．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=CD-BD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC
=a²+a²-2×a×a×
=a²，
∴BE=a．
综上可知AC边上的中线长是a或a．
故答案为a或a．
点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，余弦定理，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．