Question

已知：△ABC中，∠BCA=2∠BAC，将△ABC绕点A逆时针转α角得到△ANM．
（1）如图，当AB⊥MC且AB=MC时，求∠BCA的度数；
（2）若∠BAC=20°，求旋转角α为何值时，可使四边形ACMN为梯形．

Answer 1

分析：（1）利用旋转的性质得出四边形NMCA为等腰梯形，设∠BAC=x，则∠NAC=3x=∠MCA，得出8x=180°，进而得出∠BCA=2x=45°；
（2）分别根据①当MN∥AC时，②当AN∥CM时，分别求出旋转角α的度数即可．

解答：解：（1）由题意得出：△ABC≌△ANM，
∴AM=AC，∠NMA=∠ACB，
又∵AB⊥MC，
∴∠MAB=∠CAB，
∴∠MAC=2∠BAC，
∴∠NMA=∠MAC，
∴MN∥AC，
又∵AN=AB=MC，
∴四边形NMCA为等腰梯形，
∴∠MCA=∠NAC，设∠BAC=x，
则∠NAC=3x=∠MCA，
又∵AM=AC，
∴∠AMC=∠ACM=3x，
∵∠AMN=2x，∴8x=180°，
∴x=22.5°，
∴∠BCA=2x=45°；

（2）①当MN∥AC时，∠MAC=∠AMN=2∠BAC，
又∵∠BAC=20°，
∴∠MAC=40°，即α=40°，
②如图所示：当AN∥CM时，∠AMC=∠NAM=20°，
又∵AC=AM，
∴∠ACM=∠AMC=20°，
又∵∠NAC+∠ACM=180°，
∠NAM=20°，∠AMC=20°，∴∠CAM=140°，
即α=140°，
综上所述，当旋转角α为40°或140°时，可使四边形ACMN为梯形．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰梯形的性质和三角形内角和定理等知识，根据图形利用分类讨论得出是解题关键．