Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF，∠BCE=∠DCF；
（2）在图中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=GF成立吗？为什么？
（3）已知AE=4，AG=3，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质可以得出△BCE≌△DCF就可以求出结论；
（2）由条件及（1）的结论可以得出∠GCD+∠DCF=45°，再证明△GCE≌△GCF就可以得出结论；
（3）由勾股定理可以求出EG=5，由（2）可以得出GF=5，设GD=x，则DF=5-x，根据3+x=4+（5-x）就可以求出正方形的边长，从而求出结论．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠BCD=∠B=∠ADC=90°．BC=CD．
∴∠FDC=90°，
∴∠B=∠FDC．
在△BCE和△DCF中

BE=DF ∠B=∠CDF BC=DC

，
∴△BCE≌△DCF，
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF；
（2）∵∠BCD=90°，且∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°．
∵∠BCE=∠DCF，
∴∠DCF+∠GCD=45°，
即∠GCF=45°．
∴∠GCF=∠GCE．
在△DCE和△GCF中

GC=GC ∠GCF=∠GCE CE=CF

∴△GCE≌△GCF，
∴GE=GF．
（3）在Rt△AEG中，由勾股定理得
GE=5，
∴GF=5．
设GD=x，则DF=5-x，
∴3+x=4+（5-x），
∴x=3，
∴AD=6，
∴正方形ABCD的面积=6²=36．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，正方形的面积的运用及一元一次方程的运用．在解答时注意每个问题之间的递进关系的运用．