Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，cos∠ABC= ，sin∠ACB= ，AC=2，分别以AB，AC为边向△ABC形外作正方形ABGF和正方形ACDE，连接EF，点M是EF的中点，连接AM，则AM的长为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图，过F作AE的平行线，交AM的延长线于H，则∠HFM=∠AEM，∠H=∠EAM，

∵点M是EF的中点，

∴FM=EM，

∴△FHM≌△EAM，

∴AE=FH=AC，AM=MH= AH，

∵四边形ABCF是正方形，

∴AF=BA，

∵∠AFH+∠FAE=180°，∠CAB+∠HFA=180°，

∴∠AFH=∠BAC，

在△AFH和△BAC中，

，

∴△AFH≌△BAC（SAS），

∴AH=BC=2AM，

即AM= BC，

如图，过A作AP⊥BC于P，

∵cos∠ABC= ，sin∠ACB= ，AC=2，

∴AP=AC×sin∠ACB=2× = ，CP= AC=1，∠BAP=45°=∠ABP，

∴BP=AP= ，

∴BC= +1，

∴AM= BC= ，

所以答案是： ．

【考点精析】本题主要考查了正方形的性质和解直角三角形的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题．