Question

（1）已知实数a满足a²-a-1=0，求a⁸+7a^-4的值．
（2）已知

(a-b)(b-c)(c-a)

(a+b)(b+c)(c+a)

=

5

132

，求

a

a+b

+

b

b+c

+

c

c+a

的值．

Answer 1

分析：（1）由条件得a²=a+1，通过不断平方，把原式用较低次方的多项式表示，代入所求代数式计算；
（2）已知条件三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出

a

a+b

+

b

b+c

+

c

c+a

的值．

解答：解：（1）由已知得a²=a+1，
两边平方，得a⁴=a²+2a+1=3a+2，
两边再平方，得a⁸=9a²+12a+4=21a+13，
∴a⁸+7a^-4=21a+13+

7

3a+2

=

63a2+81a+26+7

3a+2

=

63a+63+81a+33

3a+2

=

48(3a+2)

3a+2

=48；

（2）∵

a-b

a+b

+

b-c

b+c

+

c-a

c+a

=

(a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c)

(a+b)(b+c)(c+a)

=

(c+a)(2ab-2bc)+(c-a)(ab+b2+ac+bc)

(a+b)(b+c)(c+a)

=

(a-c)[2bc+2ba-ab-b2-ac-bc]

(a+b)(b+c)(c+a)

=-

(a-b)(b-c)(c-a)

(a+b)(b+c)(c+a)

=-

5

132

，
∴（

a-b

a+b

+1）+（

b-c

b+c

+1）+（

c-a

c+a

+1）=3-

5

132

=

391

132

，
即

2a

a+b

+

2b

b+c

+

2c

c+a

=

391

132

，
∴

a

a+b

+

b

b+c

+

c

c+a

=

391

264

．

点评：本题考查了分式的恒等变形，采用了降次、通分、因式分解等方法，运算量大，考察学生的运算能力，需要仔细．