Question

如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=8．以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）过D点作DF∥BC交⊙O于点F，求线段DF的长．

Answer 1

解：（1）如图，连接OB、OE．
在△ABO和△EBO中，
∵，
∴△ABO≌△EBO（SSS），
∴∠BAO=∠BEO（全等三角形的对应角相等）；
又∵BE是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO=90°，
∴∠BAO=90°，即AB⊥AD，
∴AB是⊙O的切线；

（2）∵AD=10，DC=8，
∴OC=13，OE=5，
∴在直角△OEC中，根据勾股定理知，EC=12．
设DF交OE于点G．
∵DF∥BC（已知），
∴∠OGD=∠OEC=90°（两直线平行，同位角相等），
∴OG⊥DF，
∴FD=2DG（垂径定理）；
∵DF∥BC，
∴=，即=，
∴DG=，
∴DF=．
分析：（1）欲证AB是⊙O的切线，只需证明证得AB⊥AD即可；
（2）根据垂径定理推知DF=2DG；然后根据平行线截线段成比例证得=，即=，由此可以求得DF的长度．
点评：本题综合考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、切线的判定与性质以及平行线截线段成比例等知识点．在证明OE⊥DF时，也可以利用切线的性质与平行线的性质证明．