Question

（2009•郑州模拟）如图，在△ABC中，∠B=30°，点P是AB上一点，AP=2BP，PQ⊥BC于Q，连接AQ，则cos∠AQC的值为

2 7

7

．

Answer 1

分析：过A作BC的垂线AD，根据PQ⊥BC，∠B=30°可知BP=2PQ，BQ=

3

PQ，故可得出△BPQ∽△BAD，再根据AP=2BP，可知AD=3PQ，DQ=2BQ=2

3

PQ，进而可得出

AD

DQ

的值，设AD=

3

x，则DQ=2x，由勾股定理可得出AQ的值，再由cos∠AQC=

DQ

AQ

即可得出结论．

解答：解：过A作BC的垂线AD，
∵PQ⊥BC，∠B=30°，
∴BP=2PQ，BQ=

3

PQ，
∵AD⊥BC，
∴△BPQ∽△BAD，
∵AP=2BP，
∴AD=3PQ，DQ=2BQ=2

3

PQ，
∴

AD

DQ

=

3PQ

2 3 PQ

=

3

2

，
设AD=

3

x，则DQ=2x，AQ=

AD2+DQ2

=

( 3 x)2+(2x)2

=

7

x，
∴cos∠AQC=

DQ

AQ

=

2x

7 x

=

2 7

7

．
故答案为：

2 7

7

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．