Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，以（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切于原点O，过点A（－1，0）的直线AB与⊙P相切于点B．

（1）求AB的长．

（2）求AB、OA与所围成的阴影部分面积．

（3）求直线AB的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

1）连接PB，由于A、P的坐标已知，因此求出OA、AP的长度，根据直线AB与⊙P相切于点B，⊙P与y轴相切于原点O，利用勾股定理定理可以求出AB的长度；
（2）连接OB，利用（1）的结果可以得到∠OPB=60°，根据即可求出阴影部分面积；
（3）设直线AB与y轴相交于点C，根据已知条件可以得到∠BAP=30°，而OA=1，因此可以求出CO的长度，即求出了C的坐标，而A的坐标已知，再利用待定系数法即可求出AB的解析式；

解：（1）连接PB
∵点A、P的坐标分别为（-1，0）、（1，0），
∴OA=OP=1，
∴PA=2．
∵直线AB与⊙P相切于点B，
∴PB⊥AB，
∴∠ABP=90°
又∵⊙P与y轴相切于原点O，
∴PB=OP=1，
∴；

（2）连接OB
∵∠ABP=90°，OA=OP，
∴，
又∵PB=OP，
∴PB=OP=OB，
∴∠OPB=60°，
∴；

（3）如图示，设直线AB与y轴相交于点C
∵∠OPB=60°，∠ABP=90°，
∴∠BAP=180°-60°-90°=30°，
∴在Rt△OAC中，，

设OC=x，则AC=2x，
依题意得（2x）2=x2+12，
解得

∵x＞0，
∴；
∴点C坐标为（0，），

可设直线AB的解析式为（k≠0），
∵直线AB过点A（-1，0），
∴，

∴，

∴直线AB的解析式为．