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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．有两个动点E、F分别在线段CD与BC上运动，点E以每秒1cm的速度从点C向点D匀速运动．点F以每秒2cm的速度从点B向点C匀速运动；当其中一点到达终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为t秒．
    （1）求AD的长；
    （2）设四边形BFED的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
    （3）点E、F在运动过程中，如果由点C、E、F构成的三角形与△BDC相似，求线段BF的长．
    分析：（1）在直角三角形BCD中，由CD与BC的长，利用勾股定理求出BD的长，再由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，由cos∠CBD的值求出cos∠ADB的值，利用锐角三角函数定义即可求出AD的长；
    （2）由BD与CD的长，求出三角形BCD的面积，如图2，过点E作EH⊥AB，垂足为H，表示出三角形CEF的面积，由三角形BCD的面积减去三角形CEF的面积，即可列出y关于t的函数关系式，并求出此时t的范围；
    （3）分两种情况考虑：①如图3，当∠CEF=∠BDC=90°时，△EFC∽△DBC；②如图4，当∠CFE=∠CDB=90°时，△EFC∽△BDC，分别由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．
    解答：解：（1）在Rt△BCD中，CD=6cm，BC=10cm，
    根据勾股定理得：BD=
    		BC2-CD2
    =8cm，
    ∵AD∥BC，
    ∴∠ADB=∠CBD，
    在Rt△BCD中，BD=8cm，cos∠ADB=cos∠CBD=
    BD
    BC
    =
    8
    10
    =
    4
    5
    ，
    ∴AD=BD•cos∠ADB=
    32
    5
    cm；                 
    （2）∵BD=8cm，CD=6cm，
    ∴S△BCD=
    1
    2
    BD•CD=24（cm2），
    如图2，过点E作EH⊥AB，垂足为H，
    在Rt△CEH中，CE=t，sinC=
    BD
    BC
    =
    8
    10
    =
    4
    5
    ，
    ∴EH=CE•sinC=
    4
    5
    t，
    ∴S△CEF=
    1
    2
    CF•EH=
    1
    2
    （10-2t）×
    4
    5
    t=-
    4
    5
    t2+4t（cm2），
    ∴y=S△BCD-S△CEF=24-（-
    4
    5
    t2+4t）=
    4
    5
    t2-4t+24（cm2），t的取值范围是0＜t＜5；

    （3）①如图3，当∠CEF=∠BDC=90°时，△EFC∽△DBC，
    ∴
    CE
    CF
    =
    CD
    CB
    =
    6
    10
    =
    3
    5
    ，即
    t
    10-2t
    =
    3
    5
    ，
    解得：t=
    30
    11
    ，此时BF=2t=
    60
    11
    cm；                               
    ②如图4，当∠CFE=∠CDB=90°时，△EFC∽△BDC，
    ∴
    CF
    CE
    =
    CD
    CB
    =
    6
    10
    =
    3
    5
    ，即
    10-2t
    t
    =
    3
    5
    ，
    解得：t=
    50
    13
    ，此时BF=2t=
    100
    13
    cm．
    点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，以及三角形的面积求法，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．
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    A、3B、4C、5D、6

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    （1）模型探究：如图2，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：BP•PC=AB•CD；
    （2）拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=60°，AO⊥BC于点O，以O为顶点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）
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    A、16B、48C、24D、64

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