Question

如图①，为⊙的直径，与⊙相切于点,与⊙相切于点，点为延长线上一点，且CE=CB．
 
(1)求证：为⊙的切线；
(2)如图②，连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G．若，求线段BC和EG的长．

Answer 1

（1）连接OE、OC，先根据“SSS”证得△OBC≌△OEC，即得∠OBC=∠OEC，再结合DE为⊙O的切线即可证得结论；（2），

解析试题分析：（1）连接OE、OC，先根据“SSS”证得△OBC≌△OEC，即得∠OBC=∠OEC，再结合DE为⊙O的切线即可证得结论；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，先根据切线的性质可得DA=DE，CE=CB，设BC为，则CF=x-2，DC=x+2，在Rt△DFC中根据勾股定理即可列方程求得x的值，根据平行线的性质可得∠DAE=∠EGC，再根据等边对等角可得∠DAE=∠AED，即可得到∠ECG=∠CEG，从而可以求得BG的长，再根据勾股定理即可AG的长，然后证得△ADE∽△GCE，根据相似三角形的性质即可求得结果.
（1）连接OE、OC

∵CB=CE，OB=OE，OC=OC
∴△OBC≌△OEC
∴∠OBC=∠OEC
又∵DE与⊙O相切于点
∴∠OEC=90°
∴∠OBC=90°
∴BC为⊙的切线；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，

∵AD、DC、BG分别切⊙O于点A、E、B
∴DA=DE，CE="CB"
设BC为，则CF=x-2，DC=x+2
在Rt△DFC中，
解得 
∵AD∥BG
∴∠DAE=∠EGC          
∵DA=DE
∴∠DAE=∠AED         
∵∠AED=∠CEG   
∴∠ECG=∠CEG
∴CG=CE=CB=
∴BG=5
∴ 
∵∠DAE=∠EGC，∠AED=∠CEG
∴△ADE∽△GCE
∴，即，解得.
考点：切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质
点评：在证明切线的问题时，一般先连接切点与圆心，再证明垂直即可.