Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线l交抛物线于点B，交y轴于点C（0，﹣4）．点P是抛物线上一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P关于直线OB的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标；

（3）M是线段OB上的一个动点，过点M作直线MN⊥x轴，交抛物线于点N．当以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似时，直接写出点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为：y＝x2﹣4x；（2）P（﹣，）；（3）点N坐标为：（，﹣）或（，﹣）．

【解析】

（1）依题意设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把B（5，5）代入求得解析式；

（2）先求出直线BC解析式和OB解析式，可求直线l关于直线OB对称的直线解析式，联立方程组可求解；

（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解．

解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax（x﹣4），且过点B（5，5）

∴5＝5a

∴a＝1，

∴抛物线解析式为：y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x；

（2）∵点B（5，5），点C（0，﹣4），O（0，0）

∴直线BC解析式为：y＝x﹣4，直线OB解析式为：y＝x，

∵C点（0，-4），可得C点关于直线OB的对称点为（-4，0）

设直线l关于直线OB对称的直线解析式为y=kx+b,

把（-4，0），（5，5）代入得

解得

∴直线l关于直线OB对称的直线解析式为y＝，

∴联立方程组可得：

∴ 或

∴点P（﹣，）；

（3）如图，

∵点B（5，5），点C（0，﹣4），O（0，0）

∴OC＝4，BO＝=5，∠BOA＝45°．

设点M（m，m），则点N（m，m2﹣4m），

∴MN＝5m﹣m2，BM＝=（5﹣m），

∵MN∥y轴，

∴∠BMN＝∠BOC＝∠BOA +∠COA =135°．

∵以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似，

①当△BMN∽△BOC

∴，

则＝，

∴m1＝5（舍去），m2＝，

∴点N的坐标为（，﹣），

②当△BMN∽△COB

若，则＝，

∴m1＝5（舍去），m2＝，

∴点N坐标为（，﹣），

综上所述：点N坐标为：（，﹣）或（，﹣）．