练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2012•哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=-x+m经过点C，交x轴于点D．
    （1）求m的值；
    （2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与0，B两点重合），过点P作x轴的平行线，分别交AB，OC，DC于点E，F，G，设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
    （3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO，求此时t的值及点H的坐标．
    分析：（1）方法一：先根据直线y=2x+4求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据平行四边形的对边相等求出BC的长度，过点C作CK⊥x轴于K，从而得到四边形BOKC是矩形，根据矩形的对边相等求出KC的长度，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值；
    方法二：先根据直线y=2x+4求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，在延长DC交y轴于点N，根据直线y=-x+m求出D、N的坐标，并得到OD=ON，从而得到∠ODN=∠OND=45°，再根据平行四边形的对边相得到BC=OA=2，根据对边平行得到BC∥AO，然后再求出BN=BC=2，求出ON的长度，即为直线y=-x+m的m的值；
    （2）方法一：延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，再利用∠BAO的正切值求出AR的长度，利用∠ODN的正切值求出DQ的长度，再利用AD的长度减去AR的长度，再减去DQ的长度，计算即可得解；
    方法二：利用直线AB的解析式求出点E的横坐标，利用直线CD的解析式求出点G的横坐标，用点G的横坐标减去点E的横坐标，计算即可得解；
    （3）方法一：根据平行四边形的对边平行可得AB∥OC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠ABO=∠BOC，用t表示出BP，再根据∠ABO与∠BOC的正切值相等列式求出EP的长度，再表示出PG的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠OMC=90°，根据直角推出∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP与∠BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根据加的关系求出∠OBF=∠FBH，再判定△BHF和△BFO相似，根据相似三角形对应边成比例可得
    BH
    BF
    =
    BF
    BO
    ，再根据t=2求出OP=2，PF=1，BP=2，利用勾股定理求出BF的长度，代入数据进行计算即可求出BH的值，然后求出HO的值，从而得到点H的坐标；
    方法二：同方法一求出t=2，然后求出OP=2，BP=2，再求出PF=1，根据勾股定理求出OF与BF的长度相等，都等于
    		5
    ，根据等边对等角的性质可得∠OBF=∠BOC=∠BFH=∠ABO，再根据等角对等边的性质可得BH=HF，然后过点H作HT⊥BF于点T，利用∠OBF的余弦求解得到BH，然后求出HO的值，从而得到点H的坐标；
    方法三：先由勾股定理求出AB的长度，然后用t表示出BP，再根据∠ABO的余弦列式求出BE的长度，根据直径所对的圆周角是直角可得∠OMG=90°，然后根据同角的余角相等可得∠ABO=∠BGE，再根据∠ABO和∠BGE的正弦值相等列式求解即可得到t=2，下边求解与方法一相同．
    解答：（1）解：方法一：如图1，∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，
    ∴A（-2，0）B（0，4），
    ∴OA=2，OB=4，
    ∵四边形ABCO是平行四边形，
    ∴BC=OA=2 过点C作CK⊥x轴于K，
    则四边形BOKC是矩形，
    ∴OK=BC=2，CK=OB=4，
    ∴C（2，4）代入y=-x+m得，4=-2+m，
    ∴m=6；

    方法二，如图2，∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，
    ∴A（-2，0）B（0，4），
    ∴OA=2 OB=4，
    延长DC交y轴于点N，
    ∵y=-x+m交x轴和y轴于点D，N，
    ∴D（m，0）N（0，m），
    ∴OD=ON，
    ∴∠ODN=∠OND=45°，
    ∵四边形ABCO是平行四边形，
    ∴BC∥AO，BC=OA=2，
    ∴∠NCB=∠ODN=∠OND=45°，
    ∴NB=BC=2，
    ∴ON=NB+OB=2+4=6，
    ∴m=6；

    （2）解：方法一，如图3，延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，
    ∴ER=PO=GQ=t，
    ∵tan∠BAO=
    ER
    AR
    =
    OB
    OA
    ，
    ∴
    t
    AR
    =
    4
    2
    ，
    ∴AR=
    1
    2
    t，
    ∵y=-x+6交x轴和y轴于D，N，
    ∴OD=ON=6，
    ∴∠ODN=45°，
    ∵tan∠ODN=
    GQ
    QD
    ，
    ∴DQ=t，
    又∵AD=AO+OD=2+6=8，
    ∴EG=RQ=8-
    1
    2
    t-t=8-
    3
    2
    t，
    ∴d=-
    3
    2
    t+8（0＜t＜4）；

    方法二，如图4，∵EG∥AD，P（O，t），
    ∴设E（x1，t），G（x2，t），
    把E（x1，t）代入y=2x+4得t=2x1+4，
    ∴x1=
    t
    2
    -2，
    把G（x2，t）代入y=-x+6得t=-x2+6，
    ∴x2=6-t，
    ∴d=EG=x2-x1=（6-t）-（
    t
    2
    -2）=8-
    3
    2
    t，
    即d=-
    3
    2
    t+8（0＜t＜4）；

    （3）解：方法一，如图5，∵四边形ABCO是平行四边形，
    ∴AB∥OC，
    ∴∠ABO=∠BOC，
    ∵BP=4-t，
    ∴tan∠AB0=
    EP
    BP
    =tan∠BOC=
    1
    2
    ，
    ∴EP=2-
    t
    2
    ，
    ∴PG=d-EP=6-t，
    ∵以OG为直径的圆经过点M，
    ∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO，
    ∴∠BGP=∠BOC，
    ∴tan∠BGP=
    BP
    PG
    =tan∠BOC=
    1
    2
    ，
    ∴
    4-t
    6-t
    =
    1
    2
    ，
    解得t=2，
    ∵∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，
    ∴△BHF∽△BFO，
    ∴
    BH
    BF
    =
    BF
    BO
    ，
    即BF2=BH•BO，
    ∵OP=2，
    ∴PF=1，BP=2，
    ∴BF=
    		BP2+PF2
    =
    		5
    ，
    ∴5=BH×4，
    ∴BH=
    5
    4
    ，
    ∴HO=4-
    5
    4
    =
    11
    4
    ，
    ∴H（0，
    11
    4
    ）；

    方法二，如图6，∵四边形ABCO是平行四边形，
    ∴AB∥OC，
    ∴∠ABO=∠BOC，
    ∵BP=4-t，
    ∴tan∠AB0=
    EP
    BP
    =tan∠BOC=
    1
    2
    ，
    ∴EP=2-
    t
    2
    ，
    ∴PG=d-EP=6-t，
    ∵以OG为直径的圆经过点M，
    ∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO，
    ∴∠BGP=∠BOC，
    ∴tan∠BGP=
    BP
    PG
    =tan∠BOC=
    1
    2
    ，
    ∴
    4-t
    6-t
    =
    1
    2
    ，
    解得t=2，
    ∴OP=2，BP=4-t=2，
    ∴PF=1，
    ∴OF=
    		12+22
    =
    		5
    =BF，
    ∴∠OBF=∠BOC=∠BFH=∠ABO，
    ∴BH=HF，
    过点H作HT⊥BF于点T，
    ∴BT=
    1
    2
    BF=
    		5
    2
    ，
    ∴BH=
    BT
    cos∠OBF
    =
    		5
    2
    2
    		5
    =
    5
    4
    ，
    ∴OH=4-
    5
    4
    =
    11
    4
    ，
    ∴H（0，
    11
    4
    ）；

    方法三，如图7，∵OA=2，OB=4，
    ∴由勾股定理得，AB=2
    		5
    ，
    ∵P（O，t），
    ∴BP=4-t，
    ∵cos∠ABO=
    BP
    BE
    =
    4-t
    BE
    =
    OB
    AB
    =
    4
    2
    		5
    ，
    ∴BE=
    		5
    2
    （4-t），
    ∵以OG为直径的圆经过点M，
    ∴∠OMG=90°，
    ∵四边形ABCO是平行四边形，
    ∴AB∥OC，
    ∴∠ABG=∠OMG=90°=∠BPG，
    ∴∠ABO+∠BEG=90°，∠BGE+∠BEG=90°，
    ∴∠ABO=∠BGE，
    ∴sin∠ABO=sin∠BGE，
    ∴
    OA
    AB
    =
    BE
    EG
    =
    BE
    d
    ，
    即
    2
    2
    		5
    =
    		5
    2
    (4-t)
    8-
    3t
    2
    ，
    ∴t=2，
    ∵∠BFH=∠ABO=BOC，∠OBF=∠FBH，
    ∴△BHF∽△BFO，
    ∴
    BH
    BF
    =
    BF
    BO
    ，
    即BF2=BH•BO，
    ∵OP=2，
    ∴PF=1，BP=2，
    ∴BF=
    		BP2+PF2
    =
    		5
    ，
    ∴5=BH×4，
    ∴BH=
    5
    4
    ，
    ∴OH=4-
    5
    4
    =
    11
    4
    ，
    ∴H（0，
    11
    4
    ）．
    点评：本题是对一次函数的综合考查，主要利用了直线与坐标轴的交点的求解，平行四边形的对边平行且相等的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角的性质，解直角三角形的应用，综合性较强，难度较大，根据不同的思路，可以找到不同的求解方法，一题多解，举一反三，希望同学们认真研究、仔细琢磨．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•哈尔滨）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径是
    2
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•哈尔滨）下列图形是中心对称图形的是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•哈尔滨）如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的左视图是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•哈尔滨）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为
    		15
    		15
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•哈尔滨）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S（单位：cm2）随x（单位：cm）的变化而变化．
    （1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
    （2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案