Question

如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求一点M，使得第二、四象限的角平分线恰好平分∠AOM；
（3）连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）∵此抛物线过原点（0，0）， ∴设y=ax2+bx， 将A代入得， ∴1=4a+2b， ∵A（2，1）为顶点， ∴=2， ∴b=-4a， ∴1=4a+2×（-4a）=-4a， ∴a=-， ∴b=1， ∴y=-+x；
（2）∵y=-x平分∠AOM，∠FOE=∠HOE=45°， ∴∠1=∠2，如图①，作AE⊥OA，EN⊥ON（E在y=-x上）， ∴ON=OA，作AR⊥x，NS⊥y， ∴∠ORA=∠OSN=90°，且AR=1，OR=2， 在△OAR与△ONS中， ∴△OAR≌△ONS（AAS） ∴AR=NS=1，OR=OS=2， ∴N（-1，-2）， ∴l∶ON，y=2x M即为ON与抛物线交点， ∴ ∴ ∴M（-4，-8）；
（3）当△OAB∽△OBP时， ∠AOB=∠BOP， ∴OB平分∠AOP或∠ABP， ∴l：OP1必过点（2．-1）， ∴1∶OP1，y= ∴ ∴  ∴P1（6，-3）， ∴l：BP2必过点（2，-1）， ∴l：BP2，y= ∴ ∴ ∴P2（-2，-3）， 如图②，连OP2，BP1，作P2Q⊥y轴， ∴P2Q =2，OQ=3， 在Rt△OP2Q中，OP2=， 由抛物线对称性得OP2=BP1= ∴OP2≠OB，BP1≠ OB， ∴不存在P点（抛物线上）使△OBP与△OAB相似。