[题目]综合与实践:问题情境:矩形旋转中的数学已知在矩形中...以点为旋转中心.逆时针旋转矩形.旋转角为.得到矩形.点.点.点的对应点分别为点.点.点．操作猜想:(1)如图①.当点落在边上时.求线段的长度,深入探究:(2)如图②.当点落在线段上时.与相交于点.连接.求线段的长度,(3)请从.两题中任选一题作答.我选题．题:如图③.设点为边的中点.连接...在矩形旋转过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】综合与实践：

问题情境：矩形旋转中的数学

已知在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点、点、点的对应点分别为点、点、点．

操作猜想：

（1）如图①，当点落在边上时，求线段的长度；

深入探究：

（2）如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接，求线段的长度；

（3）请从，两题中任选一题作答，我选______题．

题：如图③，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．

题：如图④，设点为矩形对角线交点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．

【答案】（1）CE= 2-；（2）DH=；（3）A题：存在最大值+1；B题：存在最大值．

【解析】

（1）由旋转的性质可得AE=AB，利用勾股定理可求出DE的长，即可得CE的长；

（2）如图，由旋转的性质及矩形性质可得AE=CD，∠AEF=∠B=90°，根据点落在线段上可得AE⊥CF，利用HL可证明△ACD≌△CAE，可得∠CAH=∠ACH，即可证明AH=CH，在Rt△ADH中，利用勾股定理列方程求出DH的长即可；

（3）A题：如图，连接PA，作BM⊥PE，交PE延长线于M，由点P为FG中点可得PF=PG=1，利用勾股定理可得PA=PE=，即可得出S△BEP=PE·BM=BM，可得当BM最大时，△BEP的面积最大，根据三角形的三边关系及直角三角形的性质求出BM的最大值即可得答案；

B题：如图，过点B作BM⊥FA，交FA延长线于M，利用勾股定理可求出AF的长，根据矩形性质可求出PF的长，可得出S△BFP=PF·BM，可得BM最大时△BFP的面积最大，利用三角形的三边关系得出BM的最大值即可得答案．

（1）∵以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，得到矩形，，，

∴AE=AB=CD=2，AD=BC=1，

∴DE==，

∴CE=CD-DE=2-．

（2）以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，得到矩形，，，

∴AE=AB=CD=2，∠AEF

∵点落在线段上，

∴∠AEC=90°，

在Rt△ACD和Rt△CAE中，，

∴Rt△ACD≌Rt△CAE，

∴∠CAH=∠ACH，

∴AH=CH，

在Rt△ADH中，AH2=DH2+AD2，

∴（CD-DH）2=DH2+AD2，即（2-DH）2=DH2+12，

解得：DH=．

（3）A题：

如图，连接PA，作BM⊥PE，交PE延长线于M，

∵点P为GF中点，

∴PG=PF=1，

∴PA=PE==，

∴S△BEP=PE·BM=BM，

∴当BM最大时，△BEP的面积最大，

∵BM≤BP，BP≤AB+AP=2+，

∴BM≤2+，即BM的最大值为2+，

∴△BEP的面积的最大值为：BM=×（2+）=+1．

B题：

如图，过点B作BM⊥FA，交FA延长线于M，

∵AB=2，BC=1，矩形AEFG由矩形ABCD旋转所得，

∴AF==，

∴PF=AF=，

∴S△BFP=PF·BM=BM，

∴当BM最大时，△BFP的面积最大，

∵BM≤AB，

∴BM的最大值为AB=2，

∴△BFP的面积的最大值为BM=×2=．

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