Question

【题目】问题提出：

（1）如图1，在四边形中，已知：，，，的面积为8，求边上的高．

问题探究

（2）如图2在（1）的条件下，点是边上一点，且，，连接，求的面积

问题解决

（3）如图3，在（1）的条件下，点是边上任意一点，连接、，若，的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）存在，最小值为

【解析】

（1）作BC边上的高AM，利用三角形面积公式即可求解；

（2）延长DA，过B点作BF⊥DA于点F，作BH⊥AE于点H，易得四边形BCDF为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF为正方形，由，结合∠FAB=∠CBA可得∠FAB=∠EAB，从而推出BF=BH=4，易证Rt△BCE≌Rt△BHE，所以EH=CE=2，设AD＝a，则AF=AH=4-a，在Rt△ADE中利用勾股定理建立方程可求出a，最后根据S△ABE=即可求解；

（3）辅助线同（2），设AD=a，CE=m，则DE=4-m，同（2）可得出m与a的关系式，设△ABE的面积为y，由y=得到m与y的关系式，再求y的最小值即可．

（1）如图所示，作BC边上的高AM，

∵S△ABC=

∴

即BC边上的高为4；

（2）如图所示，延长DA，过B点作BF⊥DA于点F，作BH⊥AE于点H，

∵，

∴∠BCD=∠D=90°=∠F

∴四边形BCDF为矩形，

又∵BC=CD=4

∴四边形BCDF为正方形，

∴DF=BF=BC=4，

又∵AD∥BC

∴∠FAB=∠CBA

又∵∠EAB=∠CBA

∴∠FAB=∠EAB

∵BF⊥AF，BH⊥AE

∴BH=BF=4，

在Rt△BCE和Rt△BHE中，

∵BE=BE，BH=BC=4

∴Rt△BCE≌Rt△BHE（HL）

∴EH=CE=2

同理可证Rt△BAF≌Rt△BAH（HL）

∴AF=AH

设AD=a，则AF=AH=4-a

在Rt△ADE中，AD=a，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a

由勾股定理得AD2+DE2=AE2，即

解得

∴AE=6-a=

S△ABE=

（3）存在，

如图所示，延长DA，过B点作BF⊥DA于点F，作BH⊥AE于点H，

同（2）可得CE=EH，AF=AH，

设AD=a，CE=EH=m，则DE=4-m，AF=AH=4-a

在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即

整理得

∴AE=AH+HE=

设△ABE的面积为y，

则y=

∴

整理得：

∵方程必有实数根

∴

整理得

∴（注：利用求根公式进行因式分解）

又∵面积y≥0

∴

即△ABE的面积最小值为．