Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，AC、BC为弦，点P为⊙O上一点，弧AC=弧AP，AB=10，tanA=．
（1）求PC的长；
（2）过P作⊙O切线交BA延长线于E，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

解：（1）∵=，
∴AB⊥CP，AD=PD=PC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵tanA=．
∴∠BAC=60°，
∴AC=AB•cos60°=5，
∴CD=AC•sin60°=，
∴PC=5；

（2）连接OP，
∵PE是⊙O的切线，
∴OP⊥PE，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACP=90°-∠BAC=30°，
∴∠AOP=2∠ACP=60°，
∵OP=AB=5，
∴PE=OP•tan60°=5，
∴S_△OPE=OP•PE=，S_扇形AOP=π×5²=π，
∴S_阴影=S_△OPE-S_扇形AOP=．
分析：（1）由弧AC=弧AP，根据垂径定理可得AB⊥CP，AD=PD=PC，由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，由tanA=，可得∠BAC=60°，由三角函数可求得AC的长，继而求得答案；
（2）首先连接OP，可求得△OPE的面积与扇形AOP的面积，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、扇形的面积以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．