Question

【题目】如图，点O为正方形ABCD对角线的交点，点E，F分别在DA和CD的延长线上，且AE=DF，连接BE，AF，延长FA交BE于G．

（1）试判断FG与BE的位置关系，并证明你的结论；
（2）连接OG，求∠OGF的度数；
（3）若AE= ，tan∠ABG= ，求OG的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：FG⊥BE，

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠EAB=∠ADF=90°，

在△ABE与△DAF中， ，

∴△ABE≌△DAF，

∴∠E=∠AFD，

∵∠EAG=∠DAF，

∴∠AGE=∠ADF=90°，

∴FG⊥BE；

（2）解：连接OA，OB，

∵点O为正方形ABCD对角线的交点，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠AOB=90°，

∵∠AGB=90°，

∴A，G，B，O四点共圆，

∴∠AGO=∠ABO=45°；

（3）解：∵AE= ，tan∠ABG= ，

∴AB=2 ，

∴BE= =5，AO=BO= ，

∴AG= =2，

∴BG= =4，

过A作AM⊥OG于M，过B作BN⊥OG于N，

则△AGM，△BNG是等腰直角三角形，

∴BN=GN=2 ，AM=GM= ，

∵S四边形AGBO=S△AGB+S△AOB=S△BOG+S△AOG，

∴ AGBG+ AOBO= OGBN+ OGAM，

即 ×2×4+ = 2 OG+ OG，

∴OG=3 ．

【解析】（1）根据正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°然后证出△ABE≌△DAF，依据三角形全等的性质得出∠E=∠AFD，，从而得出结论；
（2）连接OA，OB，依据正方形的性质得出△AOB是等腰直角三角形，推出A，G，B，O四点共圆，根据圆周角定理得出结论；
（3）根据三角函数的定义得出AB的长，根据勾股定理得BE的长，OA=OB,根据三角形的面积公式得出AG的长，从而利用勾股定理得出BG的长，过A作AM⊥OG于M，过B作BN⊥OG于N，根据等腰直角三角形得性质得到BN=GN，AM=GM根据图形的面积列出方程即可求解。
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．