Question

如图所示，已知BC是半圆O的直径，△ABC内接于⊙O，以A为圆心，AB为半径作弧交⊙O于F，交BC于G，交OF于H，AD⊥BC于D，AD、BF交于E，CM切⊙O于C，交BF的延长线于M，若FH=6，AE=

5

3

DE，求FM的长．

Answer 1

分析：由线段相等可得其对应的弧度也相等，同理有弧线段亦可得到线段相等，所以由角度的关系可先得到AE=BE，由勾股定理求得BD的长，再过A作AQ⊥FH于Q，得△ABD≌△AFQ，得出各条线段的长，再通过切割线定理，可最终求得线段FM的值．

解答：解：∵A为⊙A的圆心，
∴AB=AF，
∴

AB

=

AF

．
∵AD⊥BC，BC为⊙O直径．
又∠ABC+∠ACB=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∴∠AFB=∠BAD，
∴∠AFB=∠ACB，
∴

AF

=

BN

．
∴∠BAE=∠ABE，
∴AE=BE．
设AE=BE=5k，DE=3k，
∴BD=4k．
过A作AQ⊥FH于Q，连接AO，AO垂直平分BF，易知∠ABE=∠AFB．
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∴∠AFQ=∠ABD，
∴△ABD≌△AFQ．
∴AD=AQ，BG=FH=6，
∵AB=AG，又AD⊥BG，
∴BD=DG=4k．
BG=8k=6，
∴k=

3

4

．
∵∠BAC=90°，∠ADB=90°，
∴AD²=BD•DC．
∴(8k2)=4k?DC，∴DC=16k，
∴BC=4k+16k=20k．
∵MC是⊙O切线，
∴MC⊥BC，△BED∽△BMC．
∴

ED

BD

=

MC

BC

，即

3k

4k

=

MC

20k

．
∴MC=15k．
在Rt△BMC中，BM²=CM²+BC²=（25k）²．
由切割线定理，MC2=MF?MB，225k2=MF•25k，
∴MF=9k=9×

3

4

=

27

4

．

点评：本题主要考查了相似、全等三角形的判定及性质以及圆心角、弧、弦、切割线的圆的一部分知识，能够在理解的基础上熟练求解．