Question

已知函数y=的图象上有一点（m，n），且m，n是关于x的方程x²-4ax+4a²-6a-8=0的两个实数根，其中a是使方程有实数根的最小整数，求函数y=的解析式．

Answer 1

解：由题意，得△=16a²-4（4a²-6a-8）=4（6a+8）≥0，
解得：a≥-，
∵a是使方程有实数根的最小整数，
∴a=-1，
∴原方程可化为x²+4x+2=0，
∵m，n是该方程的两个实数根，
由韦达定理，得mn=2，
将P（m，n）代入反比例解析式得：n=，即k=mn=2，
则反比例解析式为y=．
分析：由关于x的方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最小整数解得到a的值，确定出方程，利用韦达定理求出mn=2，将P坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式．
点评：此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．