Question

【题目】湘一“追逐梦想”数学兴趣小组编了一个“诗·远方”的计算程序，规定：输入数据，时，若输出的是代数式称为“诗”，若输出的是等式称为“远方”.

回答下列问题：

(1)当输入正整数，时，得到“远方”和“诗”，若“远方”为，求证“诗”：是完全平方式.(温馨提示：对于一个整式，如果存在另一个整式，使的条件，则称是完全平方式，比如，是完全平方式.)

(2)当输入，时，求“远方”：的，的正整数解.

(3)若正数，互为倒数，求“诗”：的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2），的正整数解为6和3；（3）2-2.

【解析】

（1）把代入即可证明；

（2）把进行因式分解得到，再根据，为正整数得到x+1=7,x+y-2=7，即可求解；

（2）把化为，得到x+2y取最小值时，S有最小值，得到，再根据正数，互为倒数即可求解.

（1）∵

∴=2x+2y+2=2x+x2-1+2=x2+2x+1=(x+1)2,为完全平方式；

（2）∵

∵，都是正整数

∴或

解得或（舍去）

∴，的正整数解为6和3；

（3）∵正数，互为倒数，∴xy=1

=

=

=

=1-

当x+2y取最小值时，S有最小值，

∵=2，即x=，y=

此时S=1-=1+2-3=2-2.