Question

20．张师傅准备用长为8cm的铜丝剪成两段，以围成两个正方形的线圈，设剪成的两段铜丝中的一段的长为xcm，围成的两个正方形的面积之和为Scm²．
（1）求S与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当x取何值时，S取得最小值，并求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设其中一段长为xcm，则另一段长为8-xcm，根据正方形面积和周长的转化关系“正方形的面积=$\frac{1}{16}$×周长×周长”列出面积的函数关系式；
（2）由函数的性质求得最值．

解答 解：（1）设一段铁丝的长度为x，另一段为（8-x），则边长分别为$\frac{1}{4}$x，$\frac{1}{4}$（8-x），
则S=$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{16}$（8-x）（8-x）=$\frac{1}{8}$x²-x+4；自变量的取值范围：0＜x＜8；
（2）S=$\frac{1}{8}$（x-4）²+2，
所以当x=4cm时，S最小，最小为2cm²．

点评 本题考查了二次函数的最值，正方形的性质，列出关系式并整理成顶点式形式是解题的关键．