Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点．
（1）求点B、C、D的坐标；
（2）如果一个二次函数图象经过B、C、D三点，求这个二次函数解析式．

Answer 1

分析：（1）由A的坐标得到OA的长，再由圆的半径为5得到AD的长，由AD-OA求出OD的长，确定出D的坐标，连接AC，在直角三角形AOC中，由OA及AC的长，利用勾股定理求出OC的长，确定出C的坐标，再由AO垂直于BC，利用垂径定理得到O为BC的中点，可得出OB=OC，由OC的长得出OB的长，即可确定出B的坐标；
（2）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），将B、C、D的坐标代入，得到关于a，b及c的方程组，求出方程组的解得到a，b及c的值，即可确定出二次函数的解析式．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（0，-3），线段AD=5，
∴OD=AD-OA=5-3=2，即点D的坐标（0，2），
连接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，
∴根据勾股定理得：OC=

AC2-OA2

=4，
∴点C的坐标为（4，0），
∵AO⊥BC，
∴OB=OC=4，
∴点B坐标为（-4，0）；

（2）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
由于该二次函数的图象经过B（-4，0）、C（4，0）、D（0，2）三点，
则将三点坐标代入二次函数解析式得：

0=16a-4b+c 0=16a+4b+c 2=c

，
解得：

a=- 1 8 b=0 c=2

，
∴所求的二次函数的解析式为y=-

1

8

x²+2．

点评：此题考查了垂径定理，坐标与图形性质，勾股定理，以及待定系数法确定函数解析式，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．