Question

如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，动点E以2cm/秒的速度从点A向点C运动（与点A，C不重合），过点E作EF∥AB交BC于F点．
（1）求AB的长；
（2）设点E出发x秒后，线段EF的长为ycm．
①求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 
②试问在AB上是否存在P，使得△EFP为等腰直角三角形？若存在，请说出共有几个，并求出相应的x的值；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，根据勾股定理即可求得AB的长；
（2）①由EF∥AB，可得△CEF∽△CAB，又由点E出发x秒后，线段EF的长为ycm，求得AE与EC的长，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得y与x的函数关系式；
②分别从当∠PEF=90°，∠PFE=90°与∠EPF=90°去分析求解，利用三角函数的知识即可求得相应的x的值．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10（cm）；
∴AB的长为10cm；

（2）①∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴

EF

AB

=

CE

CA

，
∵点E出发x秒后，AE=2xcm，CE=8-2x（cm），
又∵线段EF的长为ycm，
∴

y

10

=

8-2x

8

，
∴y=-

5

2

x+10；
∴y与x的函数关系式为y=-

5

2

x+10（0＜x＜4）；

②存在．
过点E作EP⊥AB于P，当EP=EF时，
△PEF是等腰直角三角形，
∵sin∠A=

EP

AE

=

BC

AB

，
即：

EP

2x

=

6

10

，
∴EP=

6

5

x，
∴

6

5

x=-

5

2

x+10，
解得：x=

100

37

；
同理：当FP⊥AB于P，FP=EF时，△PEF是等腰直角三角形，此时，x=

100

37

；
当EF的中垂线PK交AB于P，交EF于K，且EF=2PK时，△PEF是等腰直角三角形，
同理可求得：KP=

6

5

x，
∴2×

6

5

x=-

5

2

x+10，
解得：x=

100

49

．
∴存在这样的点共三个．

点评：此题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用．