Question

如图：在平面直角坐标系中，点A（-2，0）点B（0，4），OB的垂直平分线CE，与OA的垂直平分线CD相交于点C．
（1）写出点C的坐标；
（2）证明点C在直线AB上；
（3）在平面直角坐标系内是否存在点F，会使得△CDF≌△0AB？若存在直接写出点的坐标，若没有请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再根据线段垂直平分线的定义求出OD、OE的长，然后判断出四边形CDOE是矩形，然后写出点C的坐标即可；
（2）利用待定系数法求一次函数解析求出直线AB的解析式，再把点C的坐标代入验证即可；
（3）分①点C是直角顶点时，根据全等三角形对应边相等可得CF=OB，②点D是直角顶点，根据全等三角形对应边相等可得DF=OB，然后分别分两种情况写出点F的坐标即可．

解答：解：（1）∵点A（-2，0）点B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵OB的垂直平分线CE，与OA的垂直平分线CD相交于点C，
∴OD=

1

2

OA=

1

2

×2=1，OE=

1

2

OB=

1

2

×4=2，
∴点C（-1，2）；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
则

-2k+b=0 b=4

，
解得

k=2 b=4

，
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
当x=-1时，y=2×（-1）+4=-2+4=2，
∴点C（-1，2）在直线AB上；

（3）①点C是直角顶点时，
如图，∵△CDF≌△0AB，
∴CF=OB=4，
点F在CD右边时，F₁（3，2），
点F在CD左边时，F₂（-5，2）；
②点D是直角顶点时，
∵△CDF≌△A0B，
∴DF=OB=4，
点F在CD右边时，F₃（3，0），
点F在CD左边时，F₄（-5，0）；
综上所述，存在点F₁（3，2），F₂（-5，2），F₃（3，0），F₄（-5，0），使得△CDF≌△0AB．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，难点在于（3）要分情况讨论，作出图形更形象直观．