Question

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在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x₁，0），B（x₂，0）的距离记作|AB|=|x₁-x₂|，如果A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间距离．
如图，过A，B分别向x轴，y轴作垂线AM₁、AN₁和BM₂、BN₂，垂足分别是M₁（x₁，0），N₁（0，y₁），M₂（x₂，0），N₂（0，y₂），直线AN₁交BM₂于Q点，在Rt△ABQ中，|AB|²=|AQ|²+|QB|²．
∵|AQ|=|M₁M₂|=|x₂-x₁|，|QB|=|N₁N₂|=|y₂-y₁|，∴|AB|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2．
由此得任意两点[A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）]间距离公式为：|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

．
（1）直接应用平面内两点间距离公式计算，点A（1，-3），B（-2，1）之间的距离为

5

；
（2）平面直角坐标系中的两点A（1，3）、B（4，1），P为x轴上任一点，当PA+PB最小时，直接写出点P的坐标为

（

13

4

，0）

，PA+PB的最小值为

5

；
（3）应用平面内两点间距离公式，求代数式

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用两点间的距离公式|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

解答；
（2）作点B关于x轴对称的点B′，连接AB′，直线AB′于x轴的交点即为所求的点P；利用待定系数法求得直线AB′的解析式y=-

4

3

x+

13

3

，然后根据一次函数图象上点的坐标特征来求点P的坐标；PA+PB的最小值就是线段AB′的长度；
（3）已知代数式表示点（x，y）到点（0，2）和（3，1）的距离之和，由两点之间线段最短来求代数式

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

的最小值．

解答：解：（1）|AB|=

(-2-1)2+(1+3)2

=5； 
故答案为：5；
                                              
（2）如图，作点B关于x轴对称的点B′，连接AB′，直线AB′于x轴的交点即为所求的点P．
①∵B（4，1），
∴B′（4，-1）．
又∵A（1，3），
∴直线AB的解析式为：y=-

4

3

x+

13

3

，
当y=0时，x=

13

4

，即P（

13

4

，0）；   
②PA+PB=PA+PB′=AB′=

(4-1)2+(-1-3)2

=5，即                                      
PA+PB的最小值为．
故答案为：（

13

4

，0）；5；

（3）

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

=

(x-0)2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

故原式表示点（x，y）到点（0，2）和（3，1）的距离之和，
由两点之间线段最短可得：点（x，y）在以（0，2）和（3，1）为端点的线段上时，代数式

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

取最小值．
原式最小为

(0-3)2+(2-1)2

=

10

．

点评：本题考查了一次函数综合题．解答（2）题时，是根据“两点之间，线段最短”来找点P的位置的．