Question

如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与P重合，并且一条直角边经过点B，另一条直角边所在的直线交于点E．
探究：（1）观察操作结果，你发现哪个三角形与△BPC相似？为什么？
（2）当P点位于CD的中点时，（1）中两个相似三角形周长的比是多少？

Answer 1

分析：（1）根据两角对应相等的两三角形相似进而判定得出即可；
（2）根据当P点位于CD的中点时，△PDE∽△BCP或△BPE∽△BCP，进而得出周长比即可．

解答：解：（1）如图1，
另一条直角边与AD交于点E时，则有△PDE∽△BCP，
理由：∵∠EPB=90°，
∴∠BPC+∠DPE=90°
∵∠PBC+∠BPC=90°，
∴∠DPE=∠BPC，
∵∠D=∠C，
∴△PDE∽△BCP；
当如图2，则有△BPE∽△BCP，
∵∠BPC+∠EPC=90°，∠EPC+∠E=90°，
∴∠E=∠BPC，
∵∠PBC=∠PBE，
∴△BPE∽△BCP；

（2）当P是CD的中点时，△PDE∽△BCP，
则有△PDE和△BCP的周长比是：

DP

PC

=

1

2

，
如图2⑥，当点P是CD的中点时，则有△BPE∽△BCP，△BPE和△BCP的周长比为：

BP

BC

=

5

2

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及分类讨论思想的应用，根据已知得出不同图形进行讨论得出是解题关键．