Question

【题目】如图，是的斜边上异于、的一定点，过点作直线截交于点，使截得的与相似．已知，，，则________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

首先利用勾股定理求出BC的长，过点M作直线与另一边相交，因为所得的三角形与原三角形有一个公共角，所以只要再作一个直角就可以使得△CMN与△ABC相似，分别讨论∠CMN=90°和∠CNM=90°两种情况，求出CN的长即可.

如图所示：

∵AB=6，AC=8，∠A=90°，

∴BC==10，

过点M作MN1∥AB，则△CMN1∽△CBA，

∴CN1：CA=CM：BC，

即CN1：8：=4：10，

解得：CN1=3.2；

以M为顶点作∠CMN2=∠A=90°，则△CMN2∽△CBA，

所以CN2：BC=CM：AC，

即CN2：10：=4：8，

解得：CN2=5；

综上可知当CN=3.2或8时△CMN与△ABC相似，

故答案为：3.2或5