Question

已知抛物线y=-x²+（m-2）x+3（m+1）．
（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；
（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧）时，如果∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角，那么m的取值范围是

 

；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当△PAO的面积与△ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都大于零，再判断出物线与x轴总有交点．
（2）根据已有的条件，就能确定出m的取值范围，即可得到结果．
（3）根据抛物线y=-x²+（m-2）x+3（m+1），求出x_1和x₂的值，即可求出点P的坐标，再分2个方面进行讨论，当A（m+1，0）、B（-3，0）时和A（-3，0）、B（m+1，0）时，最后求出结果即可．

解答：（1）证明：∵△=（m-2）²-4×（-1）×3（m+1）
=（m+4）²≥0
∴无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点．
（2）解：∵抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧），∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角，
∴m+1＜0，（可以画图象得出），当m=-4，图象与坐标轴一个交点，
∴m＜-1且m≠-4．
（3）解：令y=-x²+（m-2）x+3（m+1）=0，
解得x₁=m+1，x₂=-3．
可求得顶点P(

m-2

2

，

(m+4)2

4

)．
①当A（m+1，0）、B（-3，0）时，
∵S_△PAO=S_△ABC，
∴

1

2

(m+1)×

(m+4)2

4

=

1

2

(-m-4)×3(m+1)．
解得m=-16．
∴y=-x²-18x-45．
②当A（-3，0）、B（m+1，0）时，
同理得

1

2

×3×

(m+4)2

4

=

1

2

(m+4)×[-3(m+1)]．
解得m=-

8

5

．
∴y=-x2-

18

5

x-

9

5

．

点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意找出各点的坐标问题，再把各点代入解析式是解题的关键．