Question

如图，?ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BG⊥AG于G，DH⊥AC于H．求证：四边形GEHF是平行四边形．

Answer 1

分析：首先根据平行四边形的性质可知：BO=DO，AO=CO，再证明△ABE≌△CDF，△ABG≌△CDH，根据全等三角形的性质可得：BE=DF，AG=CH，从而得到GO=HO，EO=FO，再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可证出四边形GEHF是平行四边形．

解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中

AB=CD ∠ABE=∠CDF ∠AEB=∠CFD

，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∴BO-BE=DO-DF，
即：EO=FO，
同理：△ABG≌△CDH，
∴AG=CH，
∴AO-AG=CO-CH，
即：GO=OH，
∴四边形GEHF是平行四边形．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF，△ABG≌△CDH，证出BE=DF，AG=CH是解决此题的关键．