Question

如图①所示，直线l₁：y=3x+3与x轴交于B点，与直线l₂交于y轴上一点A，且l₂与x轴的交点为C（1，0）．
（1）求证：∠ABC=∠ACB；
（2）如图②所示，过x轴上一点D（﹣3，0）作DE⊥AC于E，DE交y轴于F点，交AB于G点，求G点的坐标．
（3）如图③所示，将△ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点P（P不同于A、C两点），过P点作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于M点，且CP=BQ，在△ABC平移的过程中，线段OM的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度；若变化，确定其变化范围．

Answer 1

证明：（1）对于y=3x+3，令y=0，得3x+3=0，x=﹣1，
∴B（﹣1，0）．
∵C（1，0），
∴OB=OC，
∴AO垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB；
解：（2）∵AO⊥BC，DE⊥AC，
∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°，
∴∠1=∠2．
∵AB=AC，
∴AO平分∠BAC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3．
对于y=3x+3，当x=0时，y=3，
∴A（0，3），
∵D（﹣3，0），
∴DO=AO．
∵∠AOB=∠DOF=90°，
∴△DOF≌△AOB（ASA），
∴OF=OB，
∴F（0，1）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴y=x+1，
联立，
解得，
所以，点G（﹣，）；
解：（3）OM的长度不会发生变化，过P点作PN∥AB交BC于N点，
则∠1=∠Q，∠ABC=∠PNC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠PNC=∠PCB，
∴PN=PC，
∵CP=BQ，
∴PN=BQ，
∵∠2=∠3，
∴△OBM≌△PNM（AAS），
∴MN=BM．
∵PC=PN，PO⊥CN，
∴ON=OC，
∵BM+MN+ON+OC=BC，
∴OM=MN+ON=BC=1．