Question

如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN=30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ=QC．其中正确的结论是　　．（把所有正确的结论的序号都填上）

Answer 1

考点：

圆的综合题．

分析：

连结OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，根据旋转的性质得∠AOD=∠COF=30°，再根据圆周角定理得∠ACD=∠FDC=15°，然后根据三角形外角性质得∠DQN=∠QCD+∠QDC=30°；

同理可得∠AMN=30°，由△DEF为等边三角形得DE=DF，则弧DE=弧DF，得到弧AE=弧DC，所以∠ADE=∠DAC，根据等腰三角形的性质有ND=NA，于是可根据“AAS”判断△DNQ≌△ANM；利用QD=QC，ND=NA可判断△DNQ的周长等于AC的长；由于∠NDQ=60°，∠DQN=30°，则∠DNQ=90°，所以QD＞NQ，而QD=QC，所以QC＞NQ．

解答：

解：连结OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，如图，

∵△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，

∴∠AOD=∠COF=30°，

∴∠ACD=∠AOD=15°，∠FDC=∠COF=15°，

∴∠DQN=∠QCD+∠QDC=15°+15°=30°，所以①正确；

同理可得∠AMN=30°，

∵△DEF为等边三角形，

∴DE=DF，

∴弧DE=弧DF，

∴弧AE+弧AD=弧DC+弧CF，

而弧AD=弧CF，

∴弧AE=弧DC，

∴∠ADE=∠DAC，

∴ND=NA，

在△DNQ和△ANM中

，

∴△DNQ≌△ANM（AAS），所以②正确；

∵∠ACD=15°，∠FDC=15°，

∴QD=QC，

而ND=NA，

∴ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC，

即△DNQ的周长等于AC的长，所以③正确；

∵△DEF为等边三角形，

∴∠NDQ=60°，

而∠DQN=30°，

∴∠DNQ=90°，

∴QD＞NQ，

∵QD=QC，

∴QC＞NQ，所以④错误．

故答案为①②③．

点评：

本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握三角形全等的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质．