Question

如图，在△ABC中，AC=15，BC=18，sinC=，D是AC上一个动点（不运动至点A，C），过D作DE∥BC，交AB于E，过D作DF⊥BC，垂足为F，连接BD，设CD=x．
（1）用含x的代数式分别表示DF和BF；
（2）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数关系式；
（3）如果△BDF的面积为S₁，△BDE的面积为S₂，那么x为何值时，S₁=2S₂．

Answer 1

解：（1）在Rt△CDF中，sinC=，CD=x
∴DF=CD•sinC=x，CF=
∴BF=18-；

（2）∵ED∥BC，
∴=．
∴ED===18-x．
∴S=×DF×（ED+BF）
=×x×（18-x+18-x）=-x²+x；

（3）由S₁=2S₂，得S₁=S，
∴（18-x）•x=（-x²+x），
解得：x=10
所以，当x=10时，S₁=2S₂．
分析：（1）可在直角三角形CFD中，根据CD的长，和∠C的正弦函数表示出DF，而BF的值可以先在直角三角形CFD中，用CD和∠C的余弦函数表示出CF，然后根据BC-CF表示出BF的长；
（2）本题中（1）已经表示出了BF，DF的长，那么关键是DE的长，可通过DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，得出关于AD，AC，DE，BC的比例关系式，然后根据BC的长，用CD表即x表示出DE，然后根据梯形的面积公式即可得出关于S与x的函数关系式；
（3）三角形BDF中BF，DF已经在（1）中得出，梯形的面积也在（2）中得出，可根据题中给出的他们的比例关系，得出关于x的方程，然后通过解方程即可得出x的值．
点评：本题主要考查了解直角三角形的应用等知识点，根据三角形函数或平行得出的线段的比例关系来表示出相关的线段的长是解题的关键．