Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A在y轴上，AB平行于x轴，且AB=4，C点的坐标是（8，0），一抛物线y=ax²+bx+4经过点A，B，C，交x轴于点D，直线EF为该抛物线的对称轴．
（1）①求a，b的值；
②对称轴EF为直线x=______．
（2）判断四边形ABCD的形状（不需说明理由），并计算它的面积．

Answer 1

解：（1）①∵抛物线y=ax²+bx+4，当x=0，y=4，
∴抛物线与y轴交点A的坐标为：（0，4），
∵A在y轴上，AB平行于x轴，且AB=4，
∴B点的坐标是（4，4），
∵C点的坐标是（8，0），
将B，C点代入解析式得：
∴，
解得：，
②∵点坐标A为：（0，4），B点的坐标是（4，4），
∴图象对称轴是直线x=-=2，
故答案为：2．　　

（2）四边形ABCD为等腰梯形，
∵y=-x²+x+4，
∴图象与x轴一个交点坐标为：（8，0），对称轴是直线x=-=2，
∴图象与x轴另一个交点坐标为：（-4，0），
∴DC=8+4=12，
S_梯形=（AB+DC）×4=×16×4=32．
分析：（1）①利用抛物线y=ax²+bx+4，当x=0，y=4，得出抛物线与y轴交点A的坐标为：（0，4），进而求出B点坐标，利用待定系数法求出a，b的值即可；
②利用A，B两点的坐标，由二次函数的对称性得出对称轴即可；
（2）利用B，D，C，A的坐标即可得出AD，BC的长度，即可得出四边形ABCD的形状，再利用梯形面积公式求出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及和待定系数法求二次函数解析式、梯形的面积求法，根据已知得出A，B，D三点的坐标是解题关键．