Question

（1）观察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，…
由此可以推测：

1

56

=

1

7×8

=

1

7

-

1

8

，

1

72

=

1

8×9

=

1

8

-

1

9

．
（2）用含字母n（n为正整数）的等式表示（1）中的一般规律：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（3）请用（2）中的规律计算：

1

(a+1)(a+2)

+

1

(a+2)(a+3)

+

1

(a+3)(a+4)

．

Answer 1

分析：（1）将56变形为7×8，根据上述的规律将

1

56

变形为

1

7

与

1

8

的差；将72变为8×9，同理得到结果；
（2）根据（1）总结得到的规律，用含n的等式表示即可；
（3）由（2）总结得到的规律将原式的各项化简，抵消合并后，通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到原式的值．

解答：解：（1）

1

56

=

1

7×8

=

1

7

-

1

8

；

1

72

=

1

8×9

=

1

8

-

1

9

；
（2）用含字母n（n为正整数）的等式表示（1）中的一般规律为：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（3）由（2）中的规律化简得：

1

(a+1)(a+2)

+

1

(a+2)(a+3)

+

1

(a+3)(a+4)

=

1

a+1

-

1

a+2

+

1

a+2

-

1

a+3

+

1

a+3

-

1

a+4

=

1

a+1

-

1

a+4

=

3

(a+1)(a+4)

．
故答案为：（1）

1

7×8

=

1

7

-

1

8

；

1

8×9

=

1

8

-

1

9

；（2）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．

点评：此题考查了分式的混合运算，属于规律型题，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时若分式分子分母中出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．根据题意找出一般性规律是解本题的关键．