Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图线与坐标轴分别交于点A、B、C，其中点A（0，8），OB=OA．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若OD=OB，点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点，E为DF的中点，当△CEF的面积最大时，求出点E的坐标；

（3）将三角形CEF绕E旋转180°，C点落在M处，若M恰好在该抛物线上，求出此时△CEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+8；（2）E（﹣，）；（3）

【解析】分析：（1）根据题意得出B点坐标，进而利用待定系数法求出函数解析式；

（2）首先求出直线DC的解析式进而表示出FP的长，再表示出S△CEF，进而得出E的坐标；

（3）根据题意表示出M点坐标，进而代入二次函数解析式得出m的值，即可得出答案．

详解：（1）∵OA=8，

∴OB=OA=4，

∴B（4，0），

∵y=﹣x2+bx+c的图象过点A（0，8），B（4，0），

∴，解得：，

∴二次函数表达式为：y=﹣x2﹣x+8；

（2）当y=0时，﹣x2﹣x+8=0，

解得：x1=4，x2=﹣8，

∴C点坐标为：（﹣8，0），

∵D点坐标为：（0，4），

∴设CD的解析为：y=kx+d，

故，解得：，

故直线DC的解析为：y=x+4；

如图1，过点F作y轴的平行线交DC于点P，

设F点坐标为：（m，﹣m2﹣m+8），则P点坐标为：（m，m+4），

则FP=﹣m2﹣m+4，

∴S△FCD=FPOC=×（﹣m2﹣m+4）×8

=﹣m2﹣6m+16，

∵E为FD中点，

∴S△CEF=×S△FCD=﹣m2﹣3m+8=﹣（m﹣3）2+，

当m=﹣3时，S△CEF有最大值，

∴﹣m2﹣m+8=﹣×9+3+8=，

E点纵坐标为：×（﹣4）+4=，

∴F（﹣3，），

∴E（﹣，）；

（3）如图2，∵F点坐标为：（m，﹣m2﹣m+8），

C点坐标为：（﹣8，0），D点坐标为：（0，4），

∴M（m+8，﹣m2﹣m+12），

又∵M点在抛物线上，

∴﹣（m+8）2﹣（m+8）+8=﹣m2﹣m+12，

解得：m=﹣7，

故S△CEF=﹣m2﹣3m+8=．