Question

【题目】已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠A＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转α，（0°＜α≤60°），得到△DEC，设直线DE与直线AB相交于点P.

（1）如图1，连接PC，求证：PC平分∠EPA．

（2）如图2，在△ABC旋转过程中，连接BE，当△BCE的面积为9时，求α的度数．

（3）如图3，当点P在边AB上时，问：PE+PB是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）α＝60°；（3）PB+PE＝6．

【解析】

（1）过C点作CN⊥DE于N，CF⊥AB于F，根据旋转前后三角形的面积不变作为相等关系得到CF＝CN，从而判定PC平分∠EPA．

（2）如图2中，作EN⊥BC于N．利用三角形的面积公式构建方程求出sinα的值即可解决问题．

（3）如图3中，在PA上截取PM＝PE连接CM，过C作CK⊥PA，CH⊥DE于H，连接PC．证明△PMC≌△PEC（SAS），CE＝CM，PE＝PM，推出PB＋PE＝BM，求出BM即可解决问题．

（1）过C点作CN⊥DE于N，CF⊥AB于F．

∵△ABC≌△DEC，

∴AB＝DE．

∵S△ABC＝ABCF＝S△DCE＝DECN，

∵CF＝CN，

∴PC平分∠EPA．

（2）如图2中，作EN⊥BC于N．

∵△BCE的面积为9，BC＝EC＝6，

∴BCEN＝9，

∴BCECsinα＝9，

∴sinα＝，

∴α＝60°．

（3）如图3中，在PA上截取PM＝PE连接CM，过C作CK⊥PA，CH⊥DE于H，连接PC．

由（1）同理可证CP平分∠EPA，

∴∠EPC＝∠APC，

∵PM＝PE，PC＝PC，

∴△PMC≌△PEC（SAS），

∴CE＝CM，PE＝PM．

又∵CE＝CB，

∴CM＝CB＝6，且CK⊥PA，

∴K为BM的中点，即BK＝BM，

在Rt△BCK中，BK＝BCcos60＝6×＝3，

∴KM＝BK＝6，

∴PB+PE＝PB+PM＝BM＝6.