Question

3．如图，已知：在?ABCD中，AB=AD=2，∠DAB=60°，F为AC上一点，E为AB中点．
（1）?ABCD的周长是8；       
（2）EF+BF的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）证明四边ABCD为菱形，从而可求得四边形ABCD的周长；
（2）首先菱形的性质可知点B与点D关于AC对称，从而可知BF=DF，则EF+BF=EF+DF，当点D、F、E共线时，EF+BF有最小值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC．
∵AB=AD，
∴AB=CD=AD=BC．
∴?ABCD的周长=2×4=8．
（2）∵AB=CD=AD=BC，
∴四边形ABCD为菱形．
∴点D与点B关于AC对称．
∴BF=DF．
连接DE．

∵E是AB的中点，
∴AE=1．
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$
又∵∠DAB=60°，
∴cos∠DAE=$\frac{1}{2}$．
∴△ADE为直角三角形．
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$$\sqrt{3}$．
故答案为：1）8；（2）$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是最短路径、平行四边形的性质以及菱形的性质和判定，由轴对称图形的性质将EF+FB的最小值转化为DF+EF的最小值是解题的关键．