Question

如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半径为2，则△ABC面积的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：过C作CM⊥AB于M，要使△ACB的面积最大，只要CM取最大值即可，画出CM，求出等边三角形ABC，求出AB和CM，关键三角形的面积公式求出即可．
解答：解：过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ACB的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM=BM（垂径定理），
∴AC=BC，
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
设AB=BC=AC=a，
则AM=BM=a，由勾股定理得：CM=a，
在Rt△OBM中，OB=2，OM=a-2，bm=a，由勾股定理得：（a-2）²+（a）²=2²，
a=2，
即AB=2，CM=3，
则△ABC的面积是×AB×CM=×2×3=3，
故选A．
点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，垂径定理等等知识点的综合运用．