Question

如图正方形ABCD的边长为12，E为CD上一点（CE＜DE），P为AD上一点，且∠PBE=45°，PE=10，过B作BF⊥PE于F．
（1）求证：BF=CD；
（2）求CE的长．

Answer 1

解：（1）证明：过B作BH⊥PB交DC的延长线于H，则∠PBH=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=90°，
∴∠CBH=∠ABP=90°-∠CBP．
在△BCH与△BAP中，∠BCH=∠A，BC=AB，∠CBH=∠ABP，
∴△BCH≌△BAP，
∴BH=BP．
在△HBE与△PBE中，BH=BP，∠HBE=∠PBE=45°，BE=BE，
∴△HBE≌△PBE，
∴HE=PE，
又∵BC⊥HE于C，BF⊥PE于F，
∴BC=BF，
∵BC=CD，
∴BF=CD；

（2）设CE=x，则DE=12-x．
由①知EH=PE=10，∴CH=10-x．
又由①知PA=CH=10-x，
∴PD=DA-PA=12-（10-x）=x+2．
Rt△PDE中，PD²+DE²=PE²，
即（x+2）²+（12-x）²=10²，
解得 x=4或6．
又CE＜DE，
∴CE=4．
分析：（1）过B作BH⊥PB交DC的延长线于H，先根据ASA证明△BCH≌△BAP，得出BH=BP；再由SAS证明△HBE≌△PBE，得出HE=PE，根据全等三角形对应边上的高相等，得出BC=BF，从而有BF=CD；
（2）设CE=x，根据已知条件和（1）中结论可用含x的代数式分别表示DE，PD，在Rt△PDE中，应用勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x的值即可．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合性较强，难度中等．（1）的关键是作辅助线，（2）的关键是用含x的代数式分别表示DE，PD．